Dos números difereixen per 3. La suma dels seus reciprocs és de set dècimes. Com trobeu els números?

Resposta:

Hi ha dues solucions a un problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Explicació:

Aquest és un problema típic que es pot resoldre utilitzant un sistema de dues equacions amb dues variables desconegudes.

Sigui la primera variable desconeguda # x # i el segon # y #.

La diferència entre ells és #3#, que resulta en l’equació:

(1) # x-y = 3 #

Els seus recíprocs són # 1 / x # i # 1 / y #, la suma de la qual és #7/10#, que resulta en l’equació:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Per cert, l’existència de recíprocs necessita restriccions:

#x! = 0 # i #y! = 0 #.

Per resoldre aquest sistema, utilitzem el mètode de substitució.

Des de la primera equació es pot expressar # x # en termes de # y # i substituir en la segona equació.

De l’equació (1) podem derivar:

(3) #x = y + 3 #

Substituïu-lo per l’equació (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / i = 7/10 #

Per cert, això requereix una altra restricció:

# y + 3! = 0 #, això és #y! = - 3 #.

Utilitzant el denominador comú # 10y (y + 3) # i considerant només els numeradors, transformem l’equació (4) en:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Aquesta és una equació quadràtica que es pot reescriure com:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # o bé

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dues solucions a aquesta equació són:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

o bé

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Per tant, tenim dues solucions per a # y #:

# y_1 = 2 # i # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

De manera corresponent, utilitzant # x = y + 3 #, conclouem que hi ha dues solucions a un sistema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

En ambdós casos # x # és més gran que # y # per #3#, de manera que es compleix la primera condició d’un problema.

Comproveu la segona condició:

(a) per a una solució # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - comprovat

(b) per a una solució # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - comprovat

Les dues solucions són correctes.