Quin és el rang de la funció quadràtica f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

Tan

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

El valor mínim de #f (x) # es produirà quan # x = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

D'aquí el rang de #f (x) # és # - 16, oo) #

Més explícitament, anem #y = f (x) #, llavors:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

Afegeix #16# a tots dos costats:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Divideix els dos costats per #5# aconseguir:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

Llavors

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Sostreure #2# dels dos costats per aconseguir:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5) #

L’arrel quadrada només es definirà quan #y> = -16 #, però per a qualsevol valor de #y a -16, oo) #, aquesta fórmula ens dóna un o dos valors de # x # de tal manera que #f (x) = y #.