K és un nombre real que compleix la propietat següent: "per a cada 3 nombres positivistes, a, b, c; si a + b + c K llavors abc K" Podeu trobar el valor més gran de K?

Resposta:

# K = 3sqrt (3) #

Explicació:

Si posem:

# a = b = c = K / 3 #

Llavors:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Tan:

# K ^ 2 <= 27 #

Tan:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Si ho tenim # a + b + c <= 3sqrt (3) # llavors podem dir-li el cas # a = b = c = sqrt (3) # dóna el màxim valor possible de # abc #:

Per exemple, si solucionem #c in (0, 3sqrt (3)) # i ho deixem #d = 3sqrt (3) -c #, llavors:

# a + b = d #

Tan:

#abc = a (d-a) c #

#color (blanc) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (blanc) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (blanc) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

que té el seu valor màxim quan # a = d / 2 # i # b = d / 2 #, això és quan # a = b #.

De la mateixa manera si solucionem # b #, llavors trobem que el màxim és quan # a = c #.

D'aquí el valor màxim de # abc # s'aconsegueix quan # a = b = c #.

Tan # K = 3sqrt (3) # és el valor màxim possible de # a + b + c # de tal manera que #abc <= K #