Resposta:
El punt # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) aproximadament (1.26694.1.16437) # és un punt mínim local.
Explicació:
Les derivades parcials de primer ordre són # (parcial f) / (parcial x) = y-3x ^ {- 4} # i # (parcial f) / (parcial i) = x-2y ^ {- 3} #. Establir aquests dos resultats iguals a zero al sistema # y = 3 / x ^ (4) # i # x = 2 / i ^ {3} #. Substituint la primera equació en el segon dóna # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Des de #x! = 0 # en el domini de # f #, això resulta # x ^ {11} = 27/2 # i # x = (27/2) ^ {1/11} # i que # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Les derivades parcials de segon ordre són # (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (parcial ^ {2} f) / (parcial i ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, i # (parcial ^ {2} f) / (parcial x parcial) = (parcial ^ {2} f) / (parcial i parcial x) = 1 #.
Per tant, el discriminant és # D = (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) * (parcial ^ {2} f) / (parcial y ^ {2}) - ((parcial ^ {2} f) / ((parcial x parcial y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Això és positiu en el punt crític.
Atès que les derivades parcials de segon ordre (no mixtes) són també positives, es dedueix que el punt crític és un mínim local.
