Què és la integral de sqrt (9-x ^ 2)?

Sempre que veig aquest tipus de funcions, reconec (practicant molt) que heu d’utilitzar una substitució especial aquí:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Això pot semblar una substitució estranya, però veuràs per què estem fent això.

#dx = 3cos (u) du #

Substituïu tots els detalls de la integral:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Podem treure el 3 de la integral:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Podeu calcular els 9:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Sabem la identitat: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Si resolem # cosx #, obtenim:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Això és exactament el que veiem a la integral, de manera que podem substituir-lo:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Pot ser que en conegueu com una antiderivativa bàsica, però si no ho podeu fer, ho podeu fer així:

Utilitzem la identitat: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (es pot treballar per substitució)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Ara, tot el que hem de fer és posar # u # a la funció. Fem una ullada a la manera com la definim:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Aconseguir # u # d’això, heu de prendre la funció inversa de # sin a banda i banda, això és # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Ara hem d’inserir-la a la nostra solució:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Aquesta és la solució final.