La vida mitjana del cobalt 60 és de 5 anys. Com es pot obtenir un model de desintegració exponencial per al cobalt 60 en la forma Q (t) = Q0e ^ kt?

Resposta:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Explicació:

Establim una equació diferencial. Sabem que la taxa de canvi del cobalt és proporcional a la quantitat de cobalt present. També sabem que és un model de desintegració, de manera que hi haurà un signe negatiu:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Es tracta d’una diferent eq agradable, fàcil i separable:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implica ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Elevar cada costat a exponencials:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Ara que coneixem la forma general, hem de determinar què # k # és.

Que es denoti la vida mitjana # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Prengui registres naturals de tots dos costats:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Per ordenar, reescriure #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) any ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #