Pregunta # f3eb0

Resposta:

#c = 2/3 #

Explicació:

Per #f (x) # ser continu a #x = 2 #, el següent ha de ser cert:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # existeix.
• #f (2) # existeix (això no és un problema des de #f (x) # està clarament definit a #x = 2 #

Investiguem el primer postulat. Sabem que per existir un límit, els límits de la mà esquerra i de la dreta han de ser iguals. Matemàticament:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Això també mostra per què només ens interessa #x = 2 #: És l’únic valor de # x # per a la qual aquesta funció es defineix com a coses diferents a la dreta ia l’esquerra, el que significa que hi ha la possibilitat que els límits de la mà esquerra i de la dreta no siguin iguals.

Intentarem trobar els valors de "c" per als quals aquests límits són iguals.

Tornant a la funció de peces, veiem això a l'esquerra de #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternativament, a la dreta de #x = 2 #, ho veiem #f (x) = x ^ 3-cx #

Tan:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Avaluant els límits:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c

A partir d’aquí, només es tracta de resoldre # c #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Què hem trobat? Bé, hem descobert un valor per # c # això farà que aquesta funció continuï a tot arreu. Qualsevol altre valor de # c # i els límits de la mà dreta i esquerra no seran iguals entre si, i la funció no serà contínua a tot arreu.

Per obtenir una idea visual de com funciona això, consulteu aquest gràfic interactiu que vaig fer. Trieu valors diferents de # c #, i veure com la funció deixa de ser contínua a #x = 2 #!

Espero que t'hagi ajudat:)