Com es pot solucionar per inte ^ xcosxdx?

Resposta:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Explicació:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Utilitzarem la integració per parts, que ho indica #int "d" v = uv-int v "d" u #.

Utilitzeu la integració per parts, amb # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, i # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Utilitzeu la integració per parts de nou a la segona integral, amb # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, i # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Ara, recordem que hem definit # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Així, l’equació anterior es converteix en la següent (recordant afegir una constant d’integració):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Utilitzant la identitat de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # tenim

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

però #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 i ^ x i ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

i finalment

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #