Quina és la vida mitjana de (Na ^ 24) si un assistent d’investigació va fer 160 mg de sodi radioactiu (Na ^ 24) i va trobar que només quedaven 20 mg 45 hores més tard?

Resposta:

#color (blau) ("La meitat de la vida és de 15 hores.") #

Explicació:

Hem de trobar una equació de la forma:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

On:

#bb (A (t)) = # la quantitat després del temps t.

#bb (A (0) = # la quantitat al principi. és a dir, t = 0.

# bbk = # el factor de creixement / decadència.

# bbe = # El nombre d'Euler.

# bbt = # temps, en aquest cas hores.

Ens donen:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Hem de resoldre'ls # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Dividiu per 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Prenent logaritmes naturals d'ambdós costats:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Per tant:

#ln (1/8) = 45k

Divisió per 45:

#ln (1/8) / 45 = k

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Atès que per definició la vida mitjana és el període de temps en què tenim la meitat de l’import inicial:

#A (t) = 80 #

Per tant, hem de resoldre per a:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Prenent logaritmes naturals:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15

La meitat de la vida és de 15 hores.

Resposta:

15 hores

Explicació:

• Quick Way

Com la quantitat d'una substància en descomposició es redueix a la meitat cadascun vida mitjana (d'aquí el nom), per reduir a la meitat la quantitat en passos requereix 3 passos per arribar de 160 a 20:

• # 160 a 80 a 40 a 20 #

I #45 = 3 * 15#

Així, la vida mitjana és de 15 anys.

• Més formal

Per a la vida mitjana # tau #, on? # X (t) # és la quantitat (massa / nombre de partícules / etc) que roman al moment t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad quadrat #

Tan:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Connexió dels valors que es donen a #quadrat#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implica tau = 15 #