Quina és l’equació de la paràbola amb un focus a (-15, -19) i una directriu de y = -8?

Resposta:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Explicació:

Com que la directriu és una línia horitzontal, sabem que la paràbola està orientada verticalment (obre cap amunt o cap avall). Com que la coordenada y del focus (-19) per sota de la directriu (-8), sabem que la paràbola s'obre. La forma de vèrtex de l’equació d’aquest tipus de paràbola és:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

On h és la coordenada x del vèrtex, k és la y coordinada del vèrtex, i la distància focal, f, és la meitat de la distància signada de directrix al focus:

#f = (i _ ("enfocament") - i _ ("directriu")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

La coordenada y del vèrtex, k, és f més la coordenada y de la directriu:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

La coordenada x del vèrtex, h, és la mateixa que la coordenada x del focus:

#h = -15 #

Substituint aquests valors en equació 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Simplificació d'una mica:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Resposta:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Explicació:

Paràbola és el lloc d'un punt que es mou de manera que la seva distància a una línia, anomenada directix, i un punt, anomenat focus, siguin iguals.

Sabem que la distància entre dos punts # (x_1, y_1) # i # x_2, y_2) # es dóna per #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) i

la distància entre el punt # (x_1, y_1) # i la línia # ax + per + c = 0 # és # | ax_1 + per_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Ara la distància d’un punt # (x, y) # a la paràbola del focus a #(-15,-19)# és #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

i la seva distància de directrix # y = -8 # o bé # y + 8 = 0 # és # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Per tant, seria l'equació de paràbola

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # o bé

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # o bé

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # o bé

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

gràfic {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72