Com es demostra sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Resposta:

Feu una multiplicació conjugada, utilitzeu les identitats trigonomètriques i simplifiqueu-ne. Mirar abaix.

Explicació:

Recordeu la identitat pitagòrica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Divideix els dos costats per # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Utilitzarem aquesta important identitat.

Ens centrarem en aquesta expressió:

# secx + 1 #

Tingueu en compte que això és equivalent a # (secx + 1) / 1 #. Multiplica la part superior i la inferior per # secx-1 # (aquesta tècnica es coneix com a multiplicació conjugada):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Des de # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, ho veiem # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Per tant, podem substituir el numerador per # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

El nostre problema ara es llegeix:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tenim un denominador comú, de manera que podem afegir les fraccions al costat esquerre:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Les tangents es cancel·len:

# (cancel·la (tan ^ 2x) + 1-cancel·la (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Ens deixa:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Des de # secx = 1 / cosx #, podem reescriure això com:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Afegint fraccions al denominador, veiem:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Ús de la propietat # 1 / (a / b) = b / a #, tenim:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

I això completa la prova.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (seg ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((seg ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (vermell) ("put", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (vermell) ("put", cosxsecx = 1)

# = cosx / (1-cosx) = RHS #

Com es verifica? Tan x + cos x = sin x (sec x + cotan x)

Si us plau mireu més a baix. LHS = tanx + cosx = sinx / cosx + cosx = sinx (1 / cosx + cosx / sinx) = sinx (secx + cotx) = RHS

Demostrar / verificar les identitats: (cos (-t)) / (sec (-t) + tan (-t)) = 1 + sint?

Mirar abaix. Recordem que cos (-t) = cost, sec (-t) = secta, com el cosinus i la secant són funcions uniformes. tan (-t) = - tant, com a tangent és una funció estranya. Per tant, tenim cost / (sect-tant) = 1 + sint Recordem que tant = sint / cost, secta = 1 / cost de cost / (1 / cost-sint / cost) = 1 + sint Restar en el denominador. cost / ((1-sint) / cost) = 1 + cost cost * cost / (1-sint) = 1 + sint cos ^ 2t / (1-sint) = 1 + sint Recordem la identitat sin ^ 2t + cos ^ 2t = 1. Aquesta identitat també ens diu que cos ^ 2t = 1-sin ^ 2t. Aplica la identitat. (1-sin ^ 2t) / (1-sint) = 1 + sint Usant la dif

Com es verifica el cot (x) / sin (x) -tan (x) / cos (x) = csc (x) sec (x) 1 / (sin (x) + cos (x))?

"Això no és cert, només cal que empleneu x = 10 ° i vegeu que la igualtat no es manté." "Res més que afegir."