Què és el cilindre més gran de radi, r i alçada h que pot cabre en l'esfera de radi, R?

Resposta:

Si es tria, es troba el volum màxim del cilindre

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Aquesta elecció suposa un volum màxim de cilindres de:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Explicació:

``

Imagineu una secció transversal a través del centre del cilindre i deixeu que el cilindre tingui alçada # h #, i el volum # V #, llavors ho tenim;

# h # i # r # pot ser variat i # R # és una constant. El volum del cilindre està donat per la fórmula estàndard:

# V = pir ^ 2h #

El radi de l’esfera, # R # és la hipotenusa del triangle amb costats # r # i # 1 / 2h #, de manera que utilitzant Pythagoras, tenim:

R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Podem substituir-lo per la nostra equació de volum per obtenir:

V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Ara tenim el volum, # V # com a funció d’una sola variable # h #, que volem maximitzar # h # tan diferencial # h # dóna:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Com a mínim o màxim, # (dV) / (dh) = 0 # tan:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. H ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. H = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (òbviament volem l’arrel de te + ve)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Amb aquest valor de # h # obtenim:

r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Hauríem de comprovar que aquest valor condueix a un volum màxim (en lloc d’un màxim), ho fem mirant la segona derivada:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

I com #h> 0 # conclouem això # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # i que el punt crític identificat condueix a un màxim tal com es buscava.

Per tant, es troba el volum màxim del cilindre si escollim

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Amb aquesta elecció obtenim el volum màxim com;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

I, òbviament, el volum de l’Esfera és donat per:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Aquest és un problema molt famós, que va ser estudiat per matemàtics grecs de manera abans que es va descobrir el càlcul. Una propietat interessant és la relació entre el volum del cilindre i el volum de l’esfera:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

En altres paraules, la proporció dels volums és completament independent de # R #, # r # o bé # h # que és un resultat impressionant!