Com verificar Cos2x / (1 + sin2x) = tan (pi / 4-x)?

Resposta:

Vegeu una Prova a la pàgina Explicació.

Explicació:

# (cos2x) / (1 + sin2x) #, # = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) / {(cos ^ 2x + sin ^ 2x) + 2sxxx {}, # = {(cosx + sinx) (cosx-sinx)} / (cosx + sinx) ^ 2 #, # = (cosx-sinx) / (cosx + sinx) #, # = {cosx (1-sinx / cosx)} / {cosx (1 + sinx / cosx)} #,

# = (1-tanx) / (1 + tanx) #, # = {tan (pi / 4) -tanx} / {1 + tan (pi / 4) * tanx} quad # perquè #tan (pi / 4) = 1, # = tan (pi / 4-x) #, com es desitgi!

Primer ens recordem a nosaltres mateixos #cos (2x) = cos (x + x) = cos ^ 2x - sin ^ 2x # i #sin (2x) = 2 sin x cos x #. Ara anem a l’altra banda.

#tan (pi / 4 -x) = {tan (pi / 4) - tan x} / {1 + tan (pi / 4) tan x}

# = {1 - sin x / cos x} / {1 + sin x / cos x} #

# = {cos x - sin x} / {cos x + sin x} #

Sabem #cos 2x = cos ^ 2x - sin ^ 2 x # així que la nostra mudança és:

# = {cos x - sin x} / {cos x + sin x} cdot {cos x + sin x} / {cos x + sin x} #

# = {cos ^ 2 x - sin ^ 2 x} / {cos ^ 2x + 2 cos x sin x + sin ^ 2 x} #

# = {cos (2x)} / {1 + sin (2x)} quad sqrt #