Què és f '(- pi / 3) quan se us dóna f (x) = sin ^ 7 (x)?

És # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Mètode

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

És molt útil tornar a escriure això #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # perquè això deixa clar que el que tenim és un # 7 ^ (th) # funció de potència.

Utilitzeu la regla de potència i la regla de la cadena (aquesta combinació és sovint anomenada regla de potència generalitzada).

Per #f (x) = (g (x)) ^ n #, la derivada és #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, En una altra notació # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

En qualsevol cas, per a la vostra pregunta #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Es pot escriure #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

A # x = - pi / 3 #, tenim

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "deixa" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "deixa" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Ara, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {Estàs d'acord?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

però recordeu-vos #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Vostè té l'honor de simplificar

NOTA:

{

es pregunta per què estic fent tot això "deixa coses"?

la raó és que hi ha més d’una funció #f (x) #

** hi ha: # sin ^ 7 (x) # i hi ha #sin (x) #!!

així per trobar el #f '(x) # he de trobar el # f '# de # sin ^ 7 (x) #

I la # f '# de #sin (x) #

per això he de deixar # y = f (x) #

llavors deixeu-ho #u = sin (x) #

}