Dos satèl·lits P_ "1" i P_ "2" giren en òrbites de radis R i 4R. La relació entre les velocitats angulars màxima i mínima de la línia que uneix P_ "1" i P_ "2" és ??

Resposta:

#-9/5#

Explicació:

Segons la tercera llei de Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 implica omega propto R ^ {- 3/2} #, si la velocitat angular del satèl·lit extern és # omega #, el de l'interior és #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega.

Considerem # t = 0 # ser un instant quan els dos satèl·lits estan alineats amb el planeta mare, i prenguem aquesta línia comuna # X # eix. Després, les coordenades dels dos planetes en el moment # t # són # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) i # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) # #, respectivament.

Deixar # theta # siga l’angle que la línia que uneix els dos satèl·lits amb l’objecte # X # eix. És fàcil veure-ho

#tan theta = (4R sin (omega t) -Res (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Rendiments de diferenciació

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 vegades

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) # #

Per tant

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 pecat (omega t) cos (8 omega t) + 2s ^ 2 (omega t))

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implica #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t))

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

On la funció

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

té la derivada

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

i, per tant, està disminuint monotonicament en l'interval #-1,1#.

Així, la velocitat angular # (d theta) / dt # és màxim quan #cos (7 omega t) # és mínim, i viceversa.

Tan, # ((d theta) / dt) _ "màxim" = 12 omega (2 - 3 vegades (-1)) / (17-8 vegades (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega times 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 vegades 1) / (17-8 vegades 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 vegades omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

i per tant la relació entre els dos és:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Nota El fet que # (d theta) / dt # els signes de canvis són la causa de l'anomenat moviment retrògrad aparent