Un parell de daus justos de sis cares es llancen vuit vegades. Trobeu la probabilitat que una puntuació superior a 7 no sigui puntuada més de cinc vegades?

Resposta:

#~=0.9391#

Explicació:

Abans d'entrar a la pregunta mateixa, parlem del mètode per resoldre'l.

Diguem, per exemple, que vull explicar tots els resultats possibles derivats de fer una moneda justa tres vegades. Puc obtenir HHH, TTT, TTH i HHT.

La probabilitat d’H és #1/2# i la probabilitat de T també és #1/2#.

Per a HHH i per a TTT, és a dir # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cadascun.

Per a TTH i HHT, també ho és # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # cadascun d’ells, però com que hi ha tres maneres d’aconseguir cada resultat, acaba sent # 3xx1 / 8 = 3/8 # cadascun.

Quan resumeixo aquests resultats, sí #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - el que significa que ara tinc tots els resultats possibles de l’objectiu de la moneda.

Tingueu en compte que si em fixo # H # ser # p # i, per tant, tenir # T # ser # ~ p #, i també tingueu en compte que tenim una línia del Triangle de Pascal #(1,3,3,1)#, hem configurat un formulari de:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

i, per tant, en aquest exemple, obtenim:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Ara podem fer el problema.

Se'ns dóna el nombre de rols de 8, així que # n = 8 #.

# p # és la suma superior a 7. Per trobar la probabilitat d’obtenir una suma superior a 7, fixem-nos en els possibles rols:

# ((color (blanc) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

De les 36 possibilitats, 15 rotllos donen una suma superior a 36, donant una probabilitat de #15/36=5/12#.

Amb # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Podem escriure tota la suma de possibilitats: aconseguir que els 8 rotllos siguin una suma superior a 7 fins a aconseguir que els 8 rotllos siguin una suma de 7 o menys:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

però estem interessats en resumir només els termes que tenen la nostra suma superior a 7 que passa 5 vegades o menys:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Resposta:

#0.93906#

Explicació:

# "Així, P resultat> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ocorre k vegades en 8 llançaments" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "# #

# "(distribució binomial)" #

# "amb" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinacions)" #

#"Tan, "#

#P "es produeix com a màxim 5 vegades en 8 llançaments" #

# = 1 - P "ocorre 6, 7 o 8 vegades en 8 llançaments" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#