Com proveu (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Necessitarem aquestes dues identitats per completar la prova:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Començaré pel costat dret, després el manipularem fins que sembli el costat esquerre:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (blanc) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (blanc) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (blanc) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (blanc) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (vermell) (* sinx / sinx) #

#color (blanc) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (blanc) (RHS) = color (sinx + sinxcosx) / (2sinx) (vermell) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (blanc) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (blanc) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (blanc) (RHS) = LHS #

Aquesta és la prova. Espero que t'hagi ajudat!

Busquem provar la identitat:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Penseu en la LHS de l’expressió i utilitzeu la definició de tangent:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# (1 + cosx) / 2 #

Ara, considereu l’RHS i utilitzeu la identitat:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Donant-nos:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Així:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (cancel (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

Mostrar que cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Estic una mica confós si fa Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), es tornarà negatiu com cos (180 ° -theta) = - costheta a el segon quadrant. Com puc provar la pregunta?

Si us plau mireu més a baix. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Com proveu (sinx + cosx) ^ 4 = (1 + 2sxxcosx) ^ 2?

Si us plau, consulteu l’explicació a continuació Inicia des del costat esquerre (sinx + cosx) ^ 4 "" "" "" "" "" "" "" "" = "" "" "" "" (1 + 2sinx cosx) ^ 2 (sinx + cosx) (sinx + cosx)] ^ 2 Amplia / multiplica / enllaci l’expressió (sin ^ 2x + sinxcosx + sinxcosx + cos ^ 2x) ^ 2 Combina els termes (sin ^ 2x + cos ^ 2x + 2sxxcosx) ^ 2 colors (vermell) (sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1) (1 + 2sx cosx) ^ 2 QED lateral esquerre = costat dret Proveu completat!

Com proveu: secx - cosx = sinx tanx?

Utilitzant les definicions de secx i tanx, juntament amb la identitat sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1, tenim secx-cosx = 1 / cosx-cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x ) / cosx = sin ^ 2x / cosx = sinx * sinx / cosx = sinxtanx