Com proveu: secx - cosx = sinx tanx?

Utilitzant les definicions de # secx # i # tanx #, juntament amb la identitat

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, tenim

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Resposta:

Primer converteix tots els termes en # sinx # i # cosx #.

En segon lloc, apliqueu regles de suma de fraccions al LHS

Finalment aplicem la identitat pitagòrica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Explicació:

Primer de les preguntes d’aquestes formes és una bona idea convertir tots els termes en sinus i cosinus: així, substituïu-lo #tan x # amb #sin x / cos x #

i substitueix #sec x # amb # 1 / cos x #.

El LHS, #sec x- cos x # es converteix # 1 / cos x- cos x #.

El RHS, # sin x tan x # es converteix #sin x sin x / cos x # o bé # sin ^ 2 x / cos x #.

Ara apliquem regles de suma de fraccions al LHS, fent una base comuna (igual que la fracció numèrica) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Finalment aplicem la identitat pitagòrica: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (una de les identitats més útils per a aquest tipus de problemes).

Reordenant-la ens ho farem # 1: cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Substituïm el # 1- cos ^ 2 x # amb el LHS amb # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # que és igual al RHS modificat.

Així LHS = RHS Q.E.D.

Tingueu en compte que aquest patró general de posar les coses en termes de sinus i cosinus, utilitzant les regles de fracció i la identitat pitagòrica, solen resoldre aquest tipus de preguntes.

Si ho desitgem, també podem modificar el costat dret que coincideixi amb el costat esquerre.

Hauríem d'escriure # sinxtanx # en termes de # sinx # i # cosx #, utilitzant la identitat #color (vermell) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Ara, utilitzem la identitat pitagòrica, que és # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Podem modificar-ho per solucionar-ho # sin ^ 2x #, tan: #color (vermell) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Ara, només heu de dividir el numerador:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Utilitzeu la identitat recíproca #color (vermell) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx

Resposta:

És realment això senzill …

Explicació:

Utilitzar la identitat # tanx = sinx / cosx #, multipliqueu el # sinx # a la identitat per obtenir:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Després, multipliqueu-vos # cosx # a través de l’equació per produir:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Tenint en compte això # secx # és la inversa de # cosx #.

Finalment, utilitzant la identitat trigonomètrica # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, la resposta final seria:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #