Com s'utilitza el teorema binomial per expandir-se (x + 1) ^ 4?

Resposta:

# x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Explicació:

El teorema binomial indica:

# (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 #

així que aquí, # a = x i b = 1 #

Obtenim:

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 #

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Resposta:

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Explicació:

L’expansió binomial ve donada per:

# (a + bx) ^ n = suma_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (n-r)!) a ^ (n-r) (bx) ^ r #

Per tant, per # (1 + x) ^ 4 # tenim:

# (4!) / (0! (4-0)) 1 ^ (4-0) x ^ 0 + (4!) / (1! (4-1)!) 1 ^ (4-1) x ^ 1 + (4!) / (2! (4-2)!) 1 ^ (4-2) x ^ 2 + (4!) / (3! (4-3)!) 1 ^ (4-3)) x ^ 3 + (4!) / (4! (4-4)) 1 ^ (4-4) x ^ 4 #

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Com s'utilitza la sèrie binomial per expandir-se (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 L’expansió de la sèrie binomial per (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 és donada per: (a + bx) ^ n = suma_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nm) (bx) ^ r) Així, tenim: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Com s'utilitza la sèrie binomial per expandir sqrt (1 + x)?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = suma (1 // 2) _k / (k!) x ^ k amb x en CC Utilitzeu la generalització de la fórmula binomial per a números complexos. Hi ha una generalització de la fórmula binomial als nombres complexos. La fórmula de la sèrie binomial general sembla ser (1 + z) ^ r = suma ((r) _k) / (k!) Z ^ k amb (r) _k = r (r-1) (r-2) .. . (r-k + 1) (segons Wikipedia). Aplicem-ho a la vostra expressió. Aquesta és una sèrie de potències, per tant, òbviament, si volem tenir possibilitats que això no sigui diferent, hem de configurar absx <1 i així &

Com s'utilitza el teorema binomial per expandir-se (x-5) ^ 5?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = suma_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nm) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nm) (bx) ^ r (-5+) x) ^ 5 = sum_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! (5-0)) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1! (5-1)!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5!) / (2! (5-2)) (- 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5!) / (3! (5-3) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5!) / (4! (5-4)!) (- 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5!) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1! 4!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2! 3!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / (3! 2!)