Com s'utilitza la sèrie binomial per expandir sqrt (1 + x)?

Resposta:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = suma (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # amb #x a CC #

Utilitzeu la generalització de la fórmula binomial per a números complexos.

Explicació:

Hi ha una generalització de la fórmula binomial als nombres complexos.

La fórmula de la sèrie binomial general sembla ser # (1 + z) ^ r = suma ((r) _k) / (k!) Z ^ k # amb # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (segons Wikipedia). Aplicem-ho a la vostra expressió.

Aquesta és una sèrie de potències tan òbviament, si volem tenir possibilitats que això no sigui diferent, hem de definir #absx <1 # i així és com s'expandeix #sqrt (1 + x) # amb la sèrie binomial.

No vaig a demostrar que la fórmula és certa, però no és massa difícil, només cal veure que la funció complexa que defineix # (1 + z) ^ r # és holomorfa al disc d’unitat, calcula totes les seves derivades a 0, i això us donarà la fórmula de Taylor de la funció, el que significa que podeu desenvolupar-la com a sèrie de potències al disc d’unitat perquè #absz <1 #, d'aquí el resultat.

Com s'utilitza la sèrie binomial per expandir-se (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 L’expansió de la sèrie binomial per (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 és donada per: (a + bx) ^ n = suma_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nm) (bx) ^ r) Així, tenim: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Com s'utilitza el teorema binomial per expandir-se (x + 1) ^ 4?

X ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 El teorema binomial indica: (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 aquí, a = x i b = 1 obtenim: (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1

Com s'utilitza la fórmula binomial per expandir [x + (y + 1)] ^ 3?

X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 Aquest binomi té la forma (a + b) ^ 3 Ampliem el binomi aplicant això propietat: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. On en un binomi donat a = x i b = y + 1 tenim: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (i + 1) ^ 2 + ( y + 1) ^ 3 ho observem com (1) A l'expansió anterior tenim encara dos binomis per expandir (y + 1) ^ 3 i (y + 1) ^ 2 Per (y + 1) ^ 3 hem d'utilitzar la propietat cubed anterior Així doncs (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. Observa-ho com (2) Per (y + 1) ^ 2 hem d’utilitzar el quadrat