Com trobeu les asíntotes de y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Resposta:

Vertical

# x = 1 #

# x = 3 #

Horitzontal

# x = 1 # (pels dos # + - oo #)

Oblic

No existeix

Explicació:

Deixar # y = f (x) #

• Asimptotes verticals

Cerqueu els límits de la funció, ja que tendeix als límits del seu domini excepte l'infinit. Si el seu resultat és infinit, no ho és # x # la línia és una asíntota. Aquí, el domini és:

#x a (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Així que el 4 possible les asimptotes verticals són:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asimptota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) =

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asíntota vertical per a # x = 1 #

Nota: per a # x-1 # des de llavors # x # és lleugerament inferior a 1, el resultat serà una mica inferior a 0, de manera que el signe serà negatiu, d'aquí la nota #0^-# que més tard es tradueix en un signe negatiu.

Confirmació per a l’asimptota # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) =

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -o # Confirmat

Asimptota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -o # Asíntota vertical per a # x = 3 #

Confirmació per a l’asimptota # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Confirmat

• Asimptotes horitzontals

Trobeu els dos límits segons el que tendeix la funció # + - oo #

Menys infinitat #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) =

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) =

# = lim_ (x -> - oo) (cancel·leu (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancel·leu (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) =

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asíntota horitzontal de # y = 1 #

Més infinit #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) =

# = lim_ (x -> + oo) (cancel·leu (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancel·leu (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) =

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asíntota horitzontal de # y = 1 #

Nota: només passa que aquesta funció té una horitzontal comuna per a tots dos # -o # i # + oo #. Sempre haureu de comprovar tots dos.

• Asimptotes obliques

Primer heu de trobar tots dos límits:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Per a cadascun, si aquest límit és un nombre real, llavors existeix l’asimptota i el límit és el seu pendent. El # y # la intercepció de cadascun és el límit:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Tanmateix, per estalviar-nos el problema, podeu utilitzar alguna funció "coneixement" per evitar-ho. Ja ho sabem #f (x) # té asíntota horitzontal per a tots dos # + - oo # l'única manera de tenir un oblic és tenir una altra línia com #x -> + - oo #. Malgrat això, #f (x) # és un #1-1# funcionar així que no hi pot haver dos # y # valors per a un # x #, per tant, una segona línia és impossible, així que és impossible tenir asínptotes oblidades.