Quins són els símptomes i els forats, si n'hi ha, de f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Resposta:

# x = 0 # és una asíntota.

# x = 1 # és una asíntota.

#(3, 5/18)# és un forat.

Explicació:

Primer, simplifiquem la nostra fracció sense cancel·lar res (ja que anem a prendre límits i cancel·larem coses que podrien estar malament).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Ara: els forats i els asimptotes són valors que fan que la funció no estigui definida. Com que tenim una funció racional, serà indefinida si i només si el denominador és igual a 0. Per tant, només cal comprovar els valors de # x # que fan el denominador #0#, que són:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Per esbrinar si es tracta d’asimptotes o de forats, prenguem el límit de #f (x) # com # x # s'apropa a cadascun d’aquests números.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -o #

Tan # x = 0 # és una asíntota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -o #

Tan # x = 1 # és una asíntota.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Tan #(3, 5/18)# és un forat #f (x) #.

Resposta final