Sigui RR el conjunt dels nombres reals. Trobeu totes les funcions f: RR-> RR, satisfent abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) per a tots els x, y pertanyen a RR.?

Sigui RR el conjunt dels nombres reals. Trobeu totes les funcions f: RR-> RR, satisfent abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) per a tots els x, y pertanyen a RR.?
Anonim

Resposta:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Explicació:

Si #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # llavors #f (x) # Lipschitz és continu. Així que la funció #f (x) # és diferenciable. A continuació, seguint, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 o bé

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 ara

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(i)) = 2

tan

#f (x) = pm 2 x + C_0 #