Quins són els punts d'extrem i de sella de f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) a l'interval x, y en [-pi, pi]?

Resposta:

Explicació:

Tenim:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

= -6sinxsin ^ 2y #

Pas 2: identificar els punts crítics

Un punt crític es produeix en una solució simultània de

# f_x = f_y = 0 iff (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial i) = 0 #

és a dir, quan:

# {: (f_x = -6cosxs ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # simultàniament

Penseu en l’equació A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Tenim dues solucions:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Ara utilitzem Eq B per trobar la coordenada corresponent:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

=> 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x a RR # (canaletes)

Això ens dóna els següents punts crítics:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) (4 punts crítics)

# (+ -pi / 2, + -pi) (4 punts crítics)

# (alfa, 0) AA alfa en RR (línia de canaleta)

# (alpha, + -pi) AA alfa en RR (2 línies de canal)

Penseu en l’equació B

# -6sinxsin2y = 0 #

Tenim dues solucions:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi

=> y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Ara utilitzem Eq A per trobar la coordenada corresponent @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (repeteix a dalt)

# y = 0 => x en RR # (repetició de dalt)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

=> x = + - pi / 2 (repeteix a dalt)

Això no ens dóna punts crítics addicionals:

Pas 3: classificar els punts crítics

Per tal de classificar els punts crítics realitzem una prova similar a la d'un càlcul de variables utilitzant les segones derivades parcials i la matriu de Hesse.

# Delta = H f (x, y) = (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial)), ((parcial ^ 2 f) / (parcial i parcial x), (parcial ^ 2 f) / (parcial i ^ 2)) = f (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

A continuació, depenent del valor de # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Hi ha màxim si" f_ (xx) <0), (, "i un mínim si" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "hi ha un punt de selle"), (Delta = 0, "Es necessita una anàlisi addicional"):}

Utilitzant macros Excel personalitzades, els valors de la funció juntament amb els valors parcials de la derivada es calculen de la manera següent:

Aquí hi ha un diagrama de la funció

I el ploit amb els punts crítics (i canaletes)