Quina és l’equació de la forma estàndard de la paràbola amb una directriu de x = 5 i el focus a (11, -7)?

Resposta:

El formulari estàndard és:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Explicació:

Com que la directriu és una línia vertical, #x = 5 #, la forma del vèrtex per a l'equació de la paràbola és:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

on (h, k) és el vèrtex i #f és la distància horitzontal signada del vèrtex al focus.

Sabem que la coordenada y, k del vèrtex és la mateixa que la coordenada y del focus:

#k = -7 #

Substituïu -7 per k en equació 1:

#x = 1 / (4f) (i - 7) ^ 2 + h "2" #

Sabem que la coordenada x del vèrtex és el punt mig entre la coordenada x del focus i la coordenada x de la directriu:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Substituïu 8 per a h en equació 2:

#x = 1 / (4f) (i - 7) ^ 2 + 8 "3" #

La distància focal és la distància horitzontal signada des del vèrtex al focus:

#f = x_ "focus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Substituïu 3 per a f en l'equació 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Multiplicarem el denominador i escrivim - as +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Amplieu el quadrat:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Distribuïu el #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Combina els termes constants:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Resposta:

# x = i ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Explicació:

Directrix # x = 5 #

Focus #(11, -7)#

Des d’aquest punt es pot trobar el vèrtex.

Mireu el diagrama

Vertex es troba exactament entre Directrix i Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

La distància entre el focus i el vèrtex és # a = 3 #

La paràbola s'obre a la dreta

Aquí es troba l’equació de la Paràbola:

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

#(HK)# és el vèrtex

# h = 8 #

# k = -7 #

Connectar # h = 8; k = -7 i a = 3 # en l’equació

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # per transposició

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = i ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #