Què és l'ortocentre d'un triangle amb vèrtexs a O (0,0), P (a, b) i Q (c, d) #?

Resposta:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Explicació:

He generalitzat aquesta qüestió antiga en comptes de fer-ne una de nova. Ho vaig fer abans per a una pregunta circumcenter i no va passar res dolent, així que continuo la sèrie.

Com abans, vaig posar un vèrtex a l’origen per intentar mantenir l’algebra fàcil de fer. Un triangle arbitrari es tradueix fàcilment i el resultat es tradueix fàcilment de nou.

L'ortocentre és la intersecció de les altituds d'un triangle. La seva existència es basa en el teorema que les altituds d'un triangle es tallen en un punt. Es diu que les tres altituds són concurrents.

Provem que les altituds del triangle OPQ siguin concurrents.

El vector de direcció de OP lateral és # P-O = P = (a, b), # que és només una manera fantàstica de dir que el pendent és # b / a # (però el vector de direcció també funciona quan # a = 0 #). Obtenim el vector de direcció de la perpendicular intercanviant coordenades i negant-ne un, aquí # (b, -a). # Normalment es confirma el producte de punt zero:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

L’equació paramètrica de l’altitud de OP a Q és així:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # de veritat # t #

L’altitud d’OQ a P és similar

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # de veritat # u #

El vector de direcció de PQ és # Q-P = (c-a, d-b) #. La perpendicular a l’origen, és a dir, l’altitud de PQ, és així

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # de veritat # v #

Vegem l’ampliació de les altituds entre OP i PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Això és dues equacions en dues incògnites, # t # i # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Multiplicarem el primer per # a # i el segon de # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

S'està afegint, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad-ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Cal refrescar-se amb el producte de punts en el numerador i el producte creuat al denominador.

La trobada és l’ortocentre presumpte # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Trobem la coincidència de les altituds des de l’OQ i el PQ següent. Per simetria només podem canviar # a # amb # c # i # b # amb # d #. Cridarem el resultat # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Tenim aquestes dues interseccions iguals, # (x ', y') = (x, y), # així que hem demostrat que les altituds són concurrents. #quad sqrt #

Hem justificat el nomenament d’una intersecció comuna ortocentre, i hem trobat les seves coordenades.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #