Quin és el logaritme d'un nombre negatiu?

Els logaritmes de nombres negatius no es defineixen en els nombres reals, de la mateixa manera que les arrels quadrades de nombres negatius no es defineixen en els nombres reals. Si s'espera que trobi el registre d'un nombre negatiu, en la majoria dels casos és suficient una resposta de "indefinit".

Això és possible avaluar-ne un, però, la resposta serà un nombre complex. (un nombre del formulari #a + bi #, on? #i = sqrt (-1) #)

Si esteu familiaritzats amb números complexos i sentiu-vos còmodes treballant amb ells, seguiu llegint.

Primer, comencem per un cas general:

#log_b (-x) =? #

Utilitzarem la regla de canvi de base i es convertirem en logaritmes naturals per facilitar-ne les coses més tard:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Tingues en compte que #ln (-x) # és el mateix que #ln (-1 * x) #. Podem explotar la propietat d’addició dels logaritmes i separar aquesta part en dos registres separats:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Ara l’únic problema és descobrir què #ln (-1) # és. Pot semblar una cosa impossible de valorar al principi, però hi ha una equació molt famosa coneguda com a Identitat d'Euler que ens pot ajudar.

L'identitat d'Euler indica:

# e ^ (ipi) = -1

Aquest resultat prové d’expansions de sèries de potència i cosinus. (No explicaré això massa a fons, però si us interessa hi ha una bona pàgina aquí que explica una mica més)

De moment, anem a prendre el registre natural dels dos costats de la identitat d'Euler:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Simplificat:

#ipi = ln (-1) #

Així doncs, ara que sabem què #ln (-1) # és, podem substituir de nou a la nostra equació:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Ara teniu una fórmula per trobar registres de números negatius. Per tant, si volem avaluar alguna cosa així # log_2 10 #, simplement podem connectar uns quants valors:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #