Què és la derivada de (x ^ 2 + x) ^ 2?

Resposta:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Explicació:

Podeu diferenciar aquesta funció utilitzant el suma i normes de poder. Tingueu en compte que podeu reescriure aquesta funció com a

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Ara, la regla de suma indica que per a les funcions que prenen la forma

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

es pot trobar la derivada de # y # afegint les derivades d'aquestes funcions individuals.

#color (blau) (d / dx (i) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

En el teu cas, ho tens

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Per diferenciar aquestes fraccions, utilitzeu la regla de potència

#color (blau) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Per tant, s’obrirà que el vostre derivat serà

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= color (verd) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

Alternativament, podeu utilitzar la regla de la cadena per diferenciar-la # y #.

#color (blau) (d / dx (i) = d / (du) (i) * d / dx (u)) #

En el teu cas, ho tens #y = u ^ 2 # i # u = x ^ 2 + x #, perquè tingueu

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = color (verd) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #