Quina és la derivada de f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Mètode 1:

Començarem utilitzant la regla de canvi de base per reescriure-la #f (x) # equivalentment:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Ho sabem # d / dx ln x = 1 / x #.

(si aquesta identitat sembla desconeguda, consulteu alguns dels vídeos d’aquesta pàgina per obtenir més explicacions)

Per tant, aplicarem la regla de la cadena:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

La derivada de #ln x / 6 # serà # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Simplificant ens proporciona:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Mètode 2:

El primer que cal destacar és que només # d / dx ln (x) = 1 / x # on #ln = log_e #. És a dir, només si la base és # e #.

Per tant, hem de convertir el # log_6 # a una expressió que només té #log_e = ln #. Això ho fem amb el fet

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # Quan # n = e #

Ara, anem #z = (ln x / ln 6) # i que #f (x) = z ^ 2 #

Per tant, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #