Com es troba el polinomi Taylor de tercer grau per f (x) = ln x, centrat en a = 2?

Com es troba el polinomi Taylor de tercer grau per f (x) = ln x, centrat en a = 2?
Anonim

Resposta:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Explicació:

La forma general d’una expansió de Taylor centrada a # a # d’una funció analítica # f # és #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Aquí #f ^ ((n)) # és el desè derivat de # f #.

El polinomi de Taylor de tercer grau és un polinomi format pels primers quatre# n # que van des de #0# a #3#) termes de l’expansió completa de Taylor.

Per tant, aquest polinomi és #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, per tant #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Així, el polinomi de tercer grau de Taylor és:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Ara ho tenim # a = 2 #, així que tenim el polinomi:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.