Quines són les solucions aproximades de 5x ^ 2 - 7x = 1 arrodonides al centèsim més proper?

Restant #1# des dels dos costats obtenim:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Aquesta és de la forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 #, amb #a = 5 #, #b = -7 # i #c = -1 #.

La fórmula general de les arrels d’aquest quadràtic ens dóna:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0,7 + - sqrt (69) / 10 #

Per a què serveix una bona aproximació #sqrt (69) #?

Podríem fer-ho en una calculadora, però ho farem a mà en comptes d’utilitzar Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, tan #8# sembla una bona primera aproximació.

A continuació, iterarà amb la fórmula:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Deixar # a_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8,3125 #

Això és gairebé segur que prou bo per a la precisió que es demana.

Tan #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0.7 + - 0.83 #

Això és #x ~ = 1,53 # o bé #x ~ = -0.13 #

Torneu a escriure # 5x ^ 2-7x = 1 # en la forma estàndard de # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

donar

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

llavors utilitzeu la fórmula quadràtica per a les arrels:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

En aquest cas

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Utilitzant una calculadora:

#sqrt (69) = 8.306624 # (aprox.)

Tan

# x = 15.306624 / 10 = 1,53 # (arrodonit al centèsim més proper)

o bé

#x = -1.306624 / 10 = -0.13 # (arrodonit al centèsim més proper)