Utilitzeu http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, com dissenyeu un conjunt de nombres racionals {x} que han reptat amb milions de dígits?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Anem un pas més enllà i dissenyem un conjunt que contingui cada nombre racional amb repetició amb #10^6# dígits.

Avís: El següent és molt generalitzat i conté algunes construccions atípiques. Pot ser que sigui confús per als estudiants que no es troben completament còmodes amb la construcció de conjunts.

En primer lloc, volem construir el conjunt de les nostres repeticions de longitud #10^6#. Mentre podem començar amb el conjunt #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# que conté tots els números naturals amb un màxim de #10^6# xifres, ens trobaríem amb un problema. Algunes d'aquestes repeticions es podrien representar amb cadenes més petites, per exemple # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, o # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. Per evitar-ho, primer definim un terme nou.

Penseu en un nombre enter #a a 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Deixar # a_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # ser un #10^6# representació de dígits d’aquest nombre enter, possiblement amb l’exemple principal #0#s si # a # té menys de #10^6# dígits. Anem a trucar # a # útil si per a cada divisor adequat # m de #10^6#, # a # no és de la forma # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Ara podem fer el nostre joc de repeticions.

Deixar #A = {a a {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: un "és útil"} #

A continuació, construirem el nostre conjunt de possibles dígits decimals inicials no repetits. Tenint en compte que això també podria haver liderat #0#s, o consisteixen exclusivament en #0#s, representarem els nostres números com tuples del formulari # (k, b) #, on? # k # representarà la longitud de la cadena de dígits i # b # representarà el seu valor quan s’avaluarà com a enter. Per exemple, els dígits #00032# es combina amb la tupla #(5, 32)#.

Deixar #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Finalment, afegim la nostra part sencera al mix. Tingueu en compte que, a diferència de les porcions fraccionades, us explicarem el signe, i el farem servir # ZZ # en lloc de # NN #.

Deixar #C = A xx B xx ZZ #. Això és, # C # és el conjunt de #3#-tuples # (a, (k, b), c) # de tal manera que, # a # és un enter enter útil com a màxim #10^6# dígits, # (k, b) # representa a # k #-digitació de cadena de dígits el valor integral de la qual és # b #, i # c # és un nombre enter.

Ara que tenim conjunts que abasten tots els possibles #a, b, c # cadena amb les propietats desitjades, les unirem utilitzant el formulari construït a la pregunta referenciada.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1): (a, (k), b), c) en C} #

Llavors #S subset QQ # és el conjunt de nombres racionals amb #10^6# repeteix un dígit.

Gràcies a Sente, la teoria està en la seva resposta.

Per a un subconjunt de la resposta

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I en N # i M una fracció pròpia de la forma m dígits

enter/# 10 ^ m, #d_ (msd) # és un dígit més diferent de zero. lsd

significa el dígit menys significatiu …

Elucidació:

Sigui I = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 i d_ (msd) = 3 #. In-

entre d's són tots els 0..

Llavors.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … a l'infinit.

Tingueu en compte la divisió per #10^100001-1=9999…9999#.

Tant el numerador com el denominador tenen el mateix nombre de sd.

Sans msd d, d podrien ser qualsevol #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.