Què és una expansió de Taylor de e ^ (- 2x) centrada a x = 0?

Resposta:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Explicació:

S'ha ampliat el cas d'una sèrie de Taylor #0# es diu una sèrie de Maclaurin. La fórmula general d'una sèrie de Maclaurin és:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Per elaborar una sèrie per a la nostra funció, podem començar amb una funció per a # e ^ x # i, a continuació, utilitzeu-ho per trobar una fórmula #e ^ (- 2x) #.

Per tal de construir la sèrie Maclaurin, hem d’identificar la desena derivada de # e ^ x #. Si prenem alguns derivats, podem veure ràpidament un patró:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

De fet, la desena derivada de # e ^ x # és just # e ^ x #. Podem connectar-ho a la fórmula de Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Ara que tenim una sèrie de Taylor # e ^ x #, només podem substituir tots els fitxers # x #està amb # -2x # per obtenir una sèrie per #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … =

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

que és la sèrie que buscàvem.