Demostrar que l’ombra de la porpra és igual a la zona incircle del triangle equilàter (cercle de ratlles groc)?

Resposta:

Explicació:

L’àrea de l’incircle és # pir ^ 2 #.

Observant el triangle dret amb hipotenusa # R # i la cama # r # a la base del triangle equilàter, mitjançant la trigonometria o les propietats de #30 -60 -90 # triangles rectes podem establir la relació que # R = 2r #.

Tingueu en compte que l’angle oposat # r # és #30 # des del triangle equilàter #60 # es va dividir l’angle.

Aquest mateix triangle es pot resoldre a través del teorema de Pitàgores per demostrar que la meitat de la longitud lateral del triangle equilàter és #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Examinant ara la meitat del triangle equilàter com a triangle dret, veiem que l’altura # h # del triangle equilàter es pot resoldre en termes de # r # utilitzar la relació #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Des de #tan (60) = sqrt3 #, això es fa # h / (rsqrt3) = sqrt3 # tan # h = 3r #.

L'àrea del triangle equilàter és llavors # 1 / 2bh #, i la seva base és # 2rsqrt3 # i la seva alçada # 3r #. Així, la seva àrea és # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

L’àrea de la regió ombrejada més petita és igual a un terç de l’àrea del triangle equilàter menys l’incircle o # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # que és equivalent a # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

L'àrea del cercle més gran és # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2.

L’àrea de la regió ombrejada més gran és un terç de l’àrea del cercle més gran, menys l’àrea del triangle equilàter, o # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # que simplifica ser # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

La superfície total de l’àrea ombrejada és llavors # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, que és equivalent a la zona de l’incircle.

Resposta:

Explicació:

Per a un triangle equilàter el centre de gravetat, el centre de la circumferència circumscrita i l’ortocentre coincideixen.

Així que el radi de cicumcircle (R) i el radi de la incircle (r) tindran la següent relació

#R: r = 2: 1 => R = 2r

Ara, des de la figura, és evident que àrea de la regió de color groc amb ombra# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

I àrea de la petita regió amb ombra de color porpra# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

on #Delta # representa l'àrea del triangle equilàter.

Tan

#color (violeta) ("Àrea TOTAL de la regió amb ombra morada BIG and SMALL" # #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2)

Inserció de R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> color (taronja) "Àrea del cercle de ratlles grogues" #