Com calcular la suma d’aquest? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Tenint en compte #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

però # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # i

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # llavors

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Resposta:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # Quan # | x | <1 #

Explicació:

Comencem escrivint alguns dels coeficients:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

El primer que volem mirar són els coeficients (el grau de # x # es pot ajustar fàcilment multiplicant i dividint la sèrie per # x #, així que no són tan importants). Veiem que tots són múltiples de dos, de manera que podem destacar un factor de dos:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Els coeficients dins d’aquesta parèntesi es poden reconèixer com la sèrie binomial amb una potència de # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Observem que els exponents de tots els termes del parèntesi són més grans per dos en comparació de les sèries que acabem de derivar, així que hem de multiplicar # x ^ 2 # per obtenir la sèrie adequada:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Això vol dir que la nostra sèrie és (quan convergeix) igual a:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Només per comprovar que no hem comès cap error, podem utilitzar ràpidament la sèrie binomial per calcular una sèrie # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) =

# = 2x ^ 2 (1-3 x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) =

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) =

Podem descriure aquest patró de la manera següent:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Des del primer terme és just #0#, podem escriure:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

que és la sèrie amb la qual vam començar, verificant el nostre resultat.

Ara només necessitem esbrinar l'interval de convergència, per veure quan la sèrie realment té un valor. Podem fer-ho mirant les condicions de convergència de la sèrie binomial i trobem que la sèrie convergeix quan # | x | <1 #