El cercle A té un centre a (3, 5) i una àrea de 78 pi. El cercle B té un centre a (1, 2) i una àrea de 54 pi. Els cercles se superposen?

Resposta:

Sí

Explicació:

En primer lloc, necessitem la distància entre els dos centres, és a dir # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Ara necessitem la suma dels ràdios, ja que:

#D> (r_1 + r_2); "els cercles no se superposen".

# D = (r_1 + r_2); "cercles només toquen" #

#D <(r_1 + r_2); "els cercles se superposen" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, així que els cercles se superposen.

Prova:

gràfic {((x-3) ^ 2 + (i-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Resposta:

Aquestes se superposen si #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Podem saltar la calculadora i comprovar # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # o bé #4(13)(54) > 11^2# que segurament és, per tant, que se superposen.

Explicació:

L’àrea del cercle és, naturalment #pi r ^ 2 # així que dividim el gratuït #Pi#s.

Tenim ràdios quadrats

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

i distància quadrada entre els centres

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Bàsicament volem saber si # r_1 + r_2 ge d #, és a dir, si podem fer un triangle de dos radis i el segment entre els centres.

Les longituds quadrades són tots enters bells i és bastant boig que tots arribem instintivament a la calculadora o a l’ordinador i comencem a prendre arrels quadrades.

No cal, però requereix una mica de desviament. Utilitzem la fórmula d’Heron, truqueu la zona # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # on # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) ((((a) + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Això ja és millor que Heron. Però continuem. Vaig a saltar algun tedi.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Això és molt simètric, com podríem esperar per a una fórmula d’àrea. Fem una mirada menys simètrica. Recordar

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

S'està afegint, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2

Aquesta és una fórmula per a l'àrea quadrada d'un triangle donades les longituds quadrades dels costats. Quan aquests últims són racionals, també ho són els primers.

Provem-ho. Som lliures d'assignar els costats per molt que ens agradi; per calcular a mà el millor que pot fer # c # el costat més gran, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Fins i tot abans de calcular-ho, podem veure que tenim un valor positiu # 16Q ^ 2 # així que un triangle real amb una àrea positiva, de manera que es superposen els cercles.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Si haguéssim obtingut un valor negatiu, una àrea imaginària, aquest no és un triangle real, de manera que els cercles no superposats.