El cercle A té un centre a (6, 5) i una àrea de 6 pi. El cercle B té un centre a (12, 7) i una àrea de 48 pi. Els cercles se superposen?

Resposta:

Des de

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # i

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

podem fer un triangle real amb els costats quadrats 48, 6 i 40, de manera que aquests cercles es creuen.

Explicació:

Per què el gratuït #Pi#?

La zona és #A = pi r ^ 2 # tan # r ^ 2 = A / pi. # Així, el primer cercle té un radi # r_1 = sqrt {6} # i el segon # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Els centres són #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # separats.

Així, els cercles se superposen si #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Això és tan lleig que us hauria perdonat per aconseguir la calculadora. Però en realitat no és necessari. Fem un desviament i observem com es fa amb la Trigonometria Racional. Només ens ocupem de les longituds quadrades, anomenades quadrats.

Diguem que volem provar si hi ha tres quadrats # A, B, C # són els quadrats entre tres punts de la colinària, és a dir, #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # o bé #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # o bé #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Ho escriurem com

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Quadrat, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Reordenar de nou, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Resulta

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

és un discriminant per triangles. Acabem de mostrar si #mathcal {A} = 0 # això vol dir que tenim un triangle degenerat, format a partir de tres punts de la columna. Si #mathcal {A}> 0 # llavors tenim un triangle real, cada costat menys de la suma dels altres dos. Si #mathcal {A} <0 # no tenim costats que satisfacin la desigualtat del triangle, i de vegades anomenem això triangle imaginari.

Tornem a la nostra pregunta armada amb el nostre nou triangle discriminant #mathcal {A} #. Si els cercles es creuen, podem fer un triangle dels dos centres i una intersecció, de manera que els costats tindran longituds # r_1 #, # r_2 #, i la distància entre els centres #(6,5)# i #(12,7)#. Tenim

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # per tant, tenim un triangle real, és a dir, cercles superposats.

Ah, sí, per a qualsevol triangle #mathcal {A} = 16 (text {àrea}) ^ 2. #

Comproveu: Alfa

El cercle A té un centre a (12, 9) i una àrea de 25 pi. El cercle B té un centre a (3, 1) i una àrea de 64 pi. Els cercles se superposen?

Sí En primer lloc hem de trobar la distància entre els centres dels dos cercles. Això es deu a que aquesta distància és on els cercles estaran més propers junts, de manera que si es superposen, serà al llarg d'aquesta línia. Per trobar aquesta distància podem utilitzar la fórmula de distància: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Ara hem de trobar el radi de cada cercle. Sabem que l'àrea d’un cercle és pir ^ 2, de manera que podem utilitzar-lo per resoldre r. pi (r_1) ^ 2 =

El cercle A té un centre a (3, 5) i una àrea de 78 pi. El cercle B té un centre a (1, 2) i una àrea de 54 pi. Els cercles se superposen?

Sí En primer lloc, necessitem la distància entre els dos centres, que és D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Ara necessitem la suma de radis, ja que: D> (r_1 + r_2); "els cercles no se superposen" D = (r_1 + r_2); "cercles només toqueu" D <(r_1 + r_2); "els cercles se superposen" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, així que els cercle

El cercle A té un centre a (1, 5) i una àrea de 24 pi. El cercle B té un centre a (8, 4) i una àrea de 66 pi. Els cercles se superposen?

Sí, els cercles se superposen. La distància del centre del cercle A al centre del cercle B = 5sqrt2 = 7.071 La suma dels seus radis és = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Déu beneeixi ... Espero que l’explicació sigui útil.