Què són els extrems i els punts de sella de f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Resposta:

#(0,0)# és un punt de muntar

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # són màxims locals

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # són mínims locals

# (0, pm 1 / sqrt 2) # i # (pm 1 / sqrt 2,0) # són punts d’inflexió.

Explicació:

Per a una funció general #F (x, y) # amb un punt fix a # (x_0, y_0) # tenim l'expansió de la sèrie de Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Per a la funció

#f (x) = x i i ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

tenim

# (del f) / (del x) = vos ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x i (-2x) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

#qquad = i (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

# (del f) / (del i) = xe ^ {- x ^ 2-i ^ 2} + x i (-2y) i ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

És fàcil veure que els dos primers derivats s'esborren en els següents ponrs

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Per examinar la naturalesa d’aquests punts estacionaris, hem de mirar allí el comportament de les segones derivades.

Ara

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = i (-4x) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

i de la mateixa manera

# (del ^ 2 f) / (del i ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) i ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

i

# (del ^ 2 f) / (del xdel i) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) i ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

Per tant, per #(0,0)# tenim # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del i ^ 2) = 0 i # (del ^ 2 f) / (del x del i) = 1 - per tant

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Si us acostes #(0,0)# al llarg de la línia # x = y #, això es fa

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

i així #(0,0)# és, òbviament, un mínim si ens apropem des d’aquesta direcció. D'altra banda, si s'aproxima a la línia # x = -y # tenim

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

i així #(0,0)# és un màxim en aquesta direcció, Per tant #(0,0)# és un punt de muntar.

Per # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # és fàcil veure-ho

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del 2 f) / (del i ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del i) = 0

això vol dir que

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Per tant, la funció disminueix de la manera en què us allunyeu # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # i això és un màxim local. És fàcil veure que passa igual # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (Això hauria d'haver estat obvi, ja que la funció es manté igual # (x, y) a (-x, -y) #!

De nou, per a tots dos # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # i # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # tenim

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del 2 f) / (del i ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del i) = 0

Així, tots dos punts són mínims locals.

Els quatre punts # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) # són més problemàtics: ja que totes les derivades de segon ordre s'esvaeixen en aquests punts. Hem de mirar ara derivats d’ordre superior. Afortunadament, realment no necessitem treballar molt per a això: els rendiments derivats molt propers

# (del ^ f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-i ^ 2} #

que no és de zero per als dos # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Ara, això vol dir que, per exemple

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

el que demostra que això augmentarà de # f (0,1 / sqrt 2) # en una direcció i disminueix d’ella en l’altra. Per tant # (0,1 / sqrt2) # és un ** punt d'inflexió. El mateix argument funciona per als altres tres punts.