Quins són els punts d'extrem i de selle de f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Resposta:

Hi ha un extrema a #(3,3,27)#

Tenim:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

I així derivem les derivades parcials:

# (parcial f) / (parcial x) = y - 27 / x ^ 2 i (parcial f) / (parcial i) = x - 27 / i ^ 2 #

En un punt d’extrem o muntatge tenim:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 i (parcial f) / (parcial i) = 0 simultàniament:

és a dir, una solució simultània de:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / i ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Restant aquestes equacions es dóna:

x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Podem eliminar # x = 0; y = 0 # i així # x = y # és l’única solució vàlida, que condueix a:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

I amb # x = y = 3 #, tenim:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Per tant, hi ha només un punt crític que es produeix a (3,3,27) que es pot veure en aquesta trama (que inclou el pla tangent)