Resposta:
Consell 1: Suposem que ell és l'equació # x ^ 2 + x-u = 0 # amb # u # un sencer té una solució sencera # n #. Mostra-ho # u # és igual.
Explicació:
Si # n # és una solució que hi ha un enter # m de tal manera que
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
On? #nm = u # i # m-n = 1 #
Però la segona equació comporta això #m = n + 1 #
Ara, tots dos # m i # n # són enters, així que un de # n #, # n + 1 # és parell i #nm = u # és igual.
Proposició
Si # u # és un enter impar, llavors l’equació # x ^ 2 + x - u = 0 # no té cap solució que sigui un nombre enter.
Prova
Suposem que existeix una solució sencera # m de l’equació:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
on # u # és un enter senar. Hem d'examinar els dos casos possibles:
# m és estrany; o bé
# m és igual.
En primer lloc, considerem el cas on # m és senar, llavors existeix un enter # k # de tal manera que:
# m = 2k + 1 #
Ara, des de # m és l’arrel de la nostra equació, ha de ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
I tenim una contradicció, com # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # és igual, però # u # és estrany.
A continuació, considerem el cas on # m és igual, llavors existeix un enter # k # de tal manera que:
# m = 2k #
De la mateixa manera, des de # m és l’arrel de la nostra equació, ha de ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
I, de nou, tenim una contradicció, com # 2 (2k ^ 2 + k) # és igual, però # u # és estrany.
Per tant, hem demostrat que no hi ha cap solució sencera de l’equació # x ^ 2 + x - u = 0 # on # u # és un enter senar.
Per tant, es demostra la proposició. QED
Resposta:
Mirar abaix.
Explicació:
Si # x ^ 2 + x-u = 0 # llavors
#x (x + 1) = u # llavors si # x # és un enter, #x (x + 1) # és parella, sent una contradicció perquè # u # per hipòtesi és estrany.
