Per què hem d’utilitzar "combinacions de n coses preses x a la vegada" quan calculem les probabilitats binomials?

Per què hem d’utilitzar "combinacions de n coses preses x a la vegada" quan calculem les probabilitats binomials?
Anonim

Resposta:

Vegeu a continuació els meus pensaments:

Explicació:

La forma general d'una probabilitat binomial és:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

La pregunta és Per què necessitem aquest primer terme, el terme de combinació?

Anem a treballar amb un exemple i, a continuació, quedarà clar.

Vegem la probabilitat binomial de llançar una moneda tres vegades. Anem a establir que els caps siguin # p # i de no aconseguir caps # ~ p # (tots dos #=1/2)#.

Quan passem pel procés de sumació, els 4 termes de la sumació seran 1 (en essència, estem trobant tots els resultats possibles i, per tant, la probabilitat de tots els resultats resumits és 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = color (vermell) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3)) + color (blau) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2)) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Així doncs, parlem del terme vermell i del terme blau.

El terme vermell descriu els resultats obtinguts de 3 cues. Només hi ha una manera d’aconseguir, de manera que tenim una combinació igual a 1.

Tingueu en compte que l’últim terme, el que descriu l’obtenció de tots els caps, també té una combinació que és igual a 1 perquè, de nou, només hi ha una manera d’aconseguir-ho.

El terme blau descriu els resultats de l'obtenció de 2 cues i 1 cap. Hi ha tres maneres que poden passar: TTH, THT, HTT. Per tant, tenim una combinació igual a 3.

Tingueu en compte que el tercer terme descriu obtenir 1 cues i 2 caps i, de nou, hi ha 3 maneres d’aconseguir-ho i, per tant, la combinació és igual a 3.

De fet, en qualsevol distribució binomial, hem de trobar la probabilitat d’un sol tipus d’esdeveniment, com la probabilitat d’aconseguir 2 caps i 1 cues, i després multiplicar-lo pel nombre de maneres en què es pot aconseguir. Com que no ens importa l’ordre en què s’aconsegueixen els resultats, fem servir una fórmula de combinació (i no, per exemple, una fórmula de permutació).