Quina és l’equació de la línia que és normal a la corba polar f (theta) = - 5theta-sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) a theta = Pi?

Resposta:

La línia és #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Explicació:

Aquest gegant d’una equació es deriva d’un procés una mica llarg. Primerament esborrarem els passos pels quals es procedirà la derivació i després realitzarem aquests passos.

Tenim una funció en coordenades polars, #f (theta) #. Podem prendre la derivada, #f '(theta) #, però per trobar realment una línia en coordenades cartesianes, necessitarem # dy / dx #.

Podem trobar # dy / dx # utilitzant la següent equació:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (teta) sin (theta)) #

Llavors connectarem aquesta pendent a la forma de línia cartesiana estàndard:

#y = mx + b #

I inseriu les coordenades polars convertides cartesianes del nostre punt d’interès:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Unes poques coses que haurien de ser immediatament evidents i ens estalviarà el temps. Estem prenent una línia tangent al punt #theta = pi #. Això significa que #sin (theta) = 0 # tan…

1) La nostra equació per a # dy / dx # en realitat serà:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Les nostres equacions per a les coordenades cartesianes del nostre punt es convertiran en:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Començant a solucionar el problema, el nostre primer negoci és trobar #f '(theta) #. No és difícil, només tres derivats fàcils amb la regla de la cadena aplicats a dos:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 seg ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Ara volem saber-ho #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

I #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 seg ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Amb aquests a la mà, estem preparats per determinar el nostre pendent:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Podem connectar-ho com # m in #y = mx + b #. Recordem que ho vam determinar prèviament # y = 0 # i #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Podem combinar la nostra determinació prèvia # m amb la nostra recentment determinada # b # per donar l’equació de la línia:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Una partícula es llança sobre un triangle des d’un extrem d’una base horitzontal i la pastura del vèrtex cau a l’altre extrem de la base. Si l'alfa i la beta siguin els angles base i el teta és l’angle de projecció, Demostreu que tan theta = tan alfa + tan beta?

Atès que es llança una partícula amb l’angle de projecció theta sobre un triangle DeltaACB des d’un dels seus extrems A de la base horitzontal AB alineats al llarg de l’eix X i finalment cau a l’altre extrem Bof de la base, pasturant el vèrtex C (x y) Sigui u la velocitat de projecció, T sigui el temps de vol, R = AB sigui el rang horitzontal i t sigui el temps que pren la partícula per arribar a C (x, y) El component horitzontal de la velocitat de projecció - > ucostheta El component vertical de la velocitat de projecció -> usintheta Considerant el moviment sota gravetat

Mostrar que, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Si us plau mireu més a baix. Sigui 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), aquí r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) o alpha = theta / 2 llavors 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) i podem escriure (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n usant el teorema de DE MOivre com r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r

Com es converteix r = 3theta - tan theta en forma cartesiana?

X² + y² = (3tan ^ -1 (i / x) - i / x) ²; x> 0, y> 0 Vegeu l’explicació per a les altres dues equacions r = 3theta-tan (theta) sqrt substitut (x² + y²) per r: sqrt (x² + y²) = 3theta - tan (theta) : x² + y² = (3theta - tan (theta)) ² Substituïu y / x per tan (theta): x² + y² = (3theta - i / x) ²; x! = 0 Substituïu tan ^ -1 (i / x) per a theta. NOTA: Hem d'ajustar la theta retornada per la funció tangent inversa basada en el quadrant: Primer quadrant: x² + y² = (3tan ^ -1 (i / x) - i / x) ²; x> 0, y> 0 segon i