Com escollir dos nombres per als quals la suma de les seves arrels quadrades és mínima, sabent que el producte dels dos números és un?

Resposta:

# x = y = sqrt (a) #

Explicació:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (i) "és mínim" #

# "Podríem treballar amb el multiplicador de Lagrange L:" # #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (i) + L (x * y-a) #

# "Derivacions derivades:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (i)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(després de multiplicar amb x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MÍNIM" #

# "Ara encara hem de comprovar x = 0." #

# "Això és impossible ja que x * y = 0".

# "Per tant, tenim la solució única" #

# x = y = sqrt (a) #

Resposta:

Vaig a tractar de portar-lo a través del mètode de solució a continuació.

Explicació:

Què busquem?

Dos números. Anem a donar-los noms, # x # i # y #.

Releveu la pregunta.

Volem que la suma de les arrels quadrades sigui mínima.

Això ens diu dues coses

(1) els dos números no són negatius (per evitar imaginaris)

(2) Ens interessa el valor de # sqrtx + sqrty #

Releveu la pregunta.

També se'ns diu que el producte de # x # i # y # és # a #.

Qui tria # a #?

En general, si un exercici diu alguna cosa # a # o bé # b # o bé # c #, prenem com a constants donades per algú altre.

Per tant, ens podria dir "producte de" # x # i # y # és #11#'

o "el producte de # x # i # y # és #124#'.

Hem de resoldre'ls tots alhora # xy = un # per a alguns constants # a #.

Així, volem fer-ho # sqrtx + sqrty # tan petit com sigui possible # xy = un # per a alguns constants # a #.

Això sembla un problema d’optimització i és un problema. Així que vull una funció d’una variable per minimitzar.

# sqrtx + sqrty # té dues variables, # x # i # y #

# xy = un # també té dues variables, # x # i # y # (recorda # a # és una constant)

Tan #y = a / x #

Ara volem minimitzar:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Cerqueu la derivada, després el (s) nombre (s) crític i proveu el (s) nombre (s) crític. Acabar trobant # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Crítica # sqrta #

#f '(x) <0 # per #x <sqrta # i #f '(x)> 0 # per #x> sqrta #, tan #f (sqrta) # és un mínim.

#x = sqrta # i #y = a / x = sqrta #

Resposta:

# 2 arrel (4) (a) #

Explicació:

Ho sabem #x_i> 0 # tenim

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} el frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

llavors

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # llavors

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

però # x_1x_2 = un # llavors

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #