Torneu a escriure l’equació en un sistema de rotació del tipus que no s’espera. Puc obtenir ajuda? Gràcies!

Resposta:

La segona selecció:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Explicació:

L’equació donada

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

està en la forma cartesiana general per a una secció cònica:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

on #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 i F = -144 #

La referència de la rotació dels eixos ens proporciona equacions que ens permeten girar una secció cònica a un angle especificat, # theta #. A més, ens proporciona una equació que ens permet forçar el coeficient de la # xy # convertir-se en 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Substituint els valors de l’equació 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Simplifica:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Utilitzeu l’equació (9.4.4b) per verificar que la nova rotació provoca el coeficient de la # xy # terme a 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) # #

#B '= 0 larr # verificat.

Utilitzeu l’equació (9.4.4a) per calcular # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Utilitzeu l’equació (9.4.4c) per calcular # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Utilitzeu l’equació (9.4.4f) per calcular-la # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Ara, podem escriure el formulari sense vot:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Divideix els dos costats per 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Afegiu un a tots dos costats:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Resposta:

Opció B

Explicació:

Podem escriure l'equació en forma de matriu i després girar-la cap al seu eix principal.

Deixar:

#bb x ^ T M bb x = x, i (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

I així, de forma matricial:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 quadrats de qquad

Per girar els eixos # bbx per # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transposició #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, ja que R és ortogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Posar aquests dos últims resultats #quadrat#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW si R és la matriu que diagonalitza M, a continuació, tenim l’equació en termes dels seus eixos principals per a la matriu d’ectorat propi diagonal D, és a dir:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M Els valors propis són 36 i 16, de manera que es pot diagonalitzar com:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + i ^ (' ^ 2) / 9 = 1