Demostrar que si n és senar, llavors n = 4k + 1 per a alguns k en ZZ o n = 4k + 3 per a alguns k a ZZ?

Aquí hi ha un esquema bàsic:

Proposició: Si # n # és estrany, doncs # n = 4k + 1 # per a alguns #k a ZZ # o bé # n = 4k + 3 # per a alguns #k a ZZ #.

Prova: Deixar #n en ZZ # on # n # és estrany. Dividiu-vos # n # per 4.

A continuació, per algorisme de divisió, # R = 0,1,2, # o bé #3# (resta).

Cas 1: R = 0. Si la resta és #0#, llavors # n = 4k = 2 (2k) #.

#:. n # és igual

Cas 2: R = 1. Si la resta és #1#, llavors # n = 4k + 1 #.

#:. n # és estrany.

Cas 3: R = 2. Si la resta és #2#, llavors # n = 4k + 2 = 2 (2k + 1) #.

#:. n # és igual.

Cas 4: R = 3. Si la resta és #3#, llavors # n = 4k + 3 #.

#:. n # és estrany.

#:. n = 4k + 1 o n = 4k + 3 # si # n # és senar