Cerqueu l'àrea de la regió ombrejada?

Resposta:

Si us plau mireu més a baix.

Explicació:

Quan aprenem a trobar àrees per integració, prenem rectangles representatius verticalment.

Els rectangles tenen base # dx # (un petit canvi en # x #) i altures iguals a les majors # y # (el de la corba superior) menys el menor # y # valor (el de la corba inferior). A continuació, integrem des dels més petits # x # valor al més gran # x # valor.

Per a aquest nou problema, podríem utilitzar dos d'aquests intergrals (vegeu la resposta de Jim S), però és molt valuós aprendre a girar el pensament #90^@#.

Prenem rectangles representatius horitzontalment.

Els rectangles tenen alçada # dy # (un petit canvi en # y #) i bases iguals a les majors # x # (el de la corba més a la dreta) menys el menor # x # valor (el de la corba més a l'esquerra). A continuació, integrem des dels més petits # y # valor al més gran # y # valor.

Fixeu-vos en la dualitat

# {:("vertical", iff, "horitzontal"), (dx, iff, dy), ("superior", iff, "a la dreta"), ("inferior", iff, "a l'esquerra"), (x, iff, y):}

La frase "del més petit # x # valor al més gran # x # Valor "indica que integrem l'esquerra a la dreta. (En la direcció de l’augment # x # valors.)

La frase "del més petit # y # valor al més gran # y # Valor "indica que integrem la part inferior cap a dalt. (En la direcció de l’augment # y # valors.)

Aquí teniu una imatge de la regió amb un petit rectangle indicat:

La zona és

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Resposta:

L'àrea de la regió ombrejada és # 1m ^ 2 #

Explicació:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (podem veure des del gràfic)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (també es pot veure a la gràfica)

Una de les moltes maneres en què es pot expressar l’àrea de la regió ombrejada podria ser l’àrea del triangle # AhatOB = Ω # excloent la zona cian a la qual anomenaré #color (cyan) (Ω_3) #

Deixar #Ω_1# ser l’àrea negra que es mostra al gràfic i #color (verd) (Ω_2) # l’àrea verda que es mostra al gràfic.

L'àrea del petit triangle # ChatAD = # #color (verd) (Ω_2) # serà:

• #color (verd) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

L'àrea de #Ω_1# serà:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Com a resultat, l’àrea ombrejada serà

• #Ω_1## + color (verd) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #