Com solucioneu l'arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Resposta:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Explicació:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Comenceu deixant-ho # alpha = arcsin (x) "" # # i # "" beta = arcsin (2x) #

#color (negre) alfa # i #color (negre) beta # realment només representen angles.

Perquè tinguem: # alpha + beta = pi / 3 #

# => sin (alfa) = x

#cos (alpha) = sqrt (1-sin ^ 2 (alpha)) = sqrt (1-x ^ 2) #

De la mateixa manera, #sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#color (blanc) #

A continuació, tingueu en compte

# alpha + beta = pi / 3 #

# => cos (alpha + beta) = cos (pi / 3) #

# => cos (alfa) cos (beta) sin (alfa) sin (beta) = 1/2 #

# => sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Apliquem ara la fórmula quadràtica a la variable # x ^ 2 #

# => x ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => x = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#color (blanc) #

Casos fallits:

#color (vermell) ((1) ".." ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

s'ha de rebutjar perquè la solució és complex # inZZ #

#color (vermell) ((2) ".." ## x = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

es rebutja perquè la solució és negativa. Considerant que # pi / 3 # és positiu.