Resposta:
Vegeu l’explicació
Explicació:
Deixar # a = p / q # on # p # i # q # són enters positius.
# 1ltp / q # per tant # qltp #. # p / qlt2 # per tant # plt2q #. Per tant # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Temes més avançats per davant ~~
* Això suposa que # p # augmenta, # (p + q) ^ 2 / (pq) # augmenta. Això es pot verificar de manera intuïtiva, mirant el gràfic de # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # endavant #x in (q, 2q) # per a diversos valors positius de # q #, o pel procés de càlcul següent.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Activat #p a (q, 2q) #:
Des de # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # així # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Des de #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Des de # p ^ 2-q ^ 2gt0 # i # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Des de # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # i # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Per tant # (p + q) ^ 2 / (pq) # augmenta constantment # q # i # qltplt2q # perquè # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # és positiu.
~~~~
Resposta:
En descripció
Explicació:
Aquí la restricció (1):
# 1 <a <2 #
Restricció (2):
Per teorema recíproc, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
A la restricció 1 afegiu 1 a banda i banda, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (vermell) (a + 1 <3) #
En la mateixa restricció afegiu 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
De nou, tingueu en compte que, #2 <2+1/2#
Tan # a + 1/2 # ha de ser inferior a 2
#color (vermell) (a + 1/2) <2 #
Per tant, a la restricció 2, # 1> a> 1/2 #
Afegiu un a banda i banda, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Ho vam fer així perquè # a + 1 <3 #
Tan # a + 1 / a # ha de ser inferior a 3.
De nou # a + 1/2 <2 # però en aquesta restricció # a + 1 / a> a + 1/2 #
Tan, # a + 1 / a # ha de ser superior a 2.
Per tant, # 1> 1 / a> 1
Afegint un a ambdós costats, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # provat
