Quina és l'equació de la paràbola amb un focus a (5,3) i una directriu de y = -12?

Resposta:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Explicació:

La definició d'una paràbola indica que tots els punts de la paràbola sempre tenen la mateixa distància que el focus i la directriu.

Podem deixar # P = (x, y) #, que representarà un punt general de la paràbola, podem permetre-ho # F = (5,3) # representen el focus i # D = (x, -12) # representen el punt més proper a la directriu, el # x # és perquè el punt més proper a la directriu és sempre recte.

Ara podem configurar una equació amb aquests punts. Utilitzarem la fórmula de distància per calcular les distàncies:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Podem aplicar-ho als nostres punts per obtenir primer la distància # P # i # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

A continuació, elaborarem la distància entre # P # i # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Atès que aquestes distàncies han de ser iguals entre si, les podem posar en una equació:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (i-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Des del punt # P # és en forma general i pot representar qualsevol punt de la paràbola, si només podem resoldre # y # A l'equació, ens quedarem amb una equació que ens donarà tots els punts de la paràbola, és a dir, serà l'equació de la paràbola.

Primer, anem a quadrar els dos costats:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (i-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

A continuació, podem ampliar:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Si posem tot a l’esquerra i recopilem termes similars, obtindrem:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

que és l’equació de la nostra paràbola.