Quins són els valors de r (amb r> 0) per als quals convergeix la sèrie?

Resposta:

#r <1 / e # és la condició per a la convergència de #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Explicació:

Acabo de respondre a la part sobre la convergència, i la primera part ha estat contestada en els comentaris. Podem utilitzar # r ^ ln (n) = n ^ l (r) # per reescriure la suma #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # en el formulari

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {per} p = -ln (r) #

La sèrie de la dreta és la forma de sèrie de la famosa funció Zeta de Riemann. És ben sabut que aquesta sèrie convergeix quan #p> 1 #. L’ús d’aquest resultat dóna directament

# -ln (r)> 1 implica ln (r) <- 1 implica r <e ^ -1 = 1 / e #

El resultat de les funcions de Zeta de Riemann és molt conegut, si voleu un ab initio resposta, podeu provar la prova integral per a la convergència.